makalah metematika umum dari bab 1 sampai bab 6 kurikulum 2013 / iman gunadi sma 2 ktp

1.      PROGRAM LINIER

Pemrograman linier dan persamaan linear merupakan dua bentuk matematika yang dianggap rumit. Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode  matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri, militer, social dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.

Fungsi linier adalah fungsi yang paling sederhana karena hanya mempunyai dasar satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel bebas tersebut, sehingga sering disebut sebagai fungsi berderajad satu. Bentuk umum persamaan linier adalah: y = a + bx; dimana adalah konstanta dan b adalah koefisien (b?0). Atau sering dinyatakan dalam bentuk implisi berikut: Ax + By + C = 0.

Salah satu contoh penggunaan program linear adalah untuk menyelesaikan permasalahan yang akan kita bahas pada makalah hasil penelitian kelompok kita pada sebuah perusahaan pembuatan jaket.

x	0	3
Y	6	0
X,Y	0,6	3,0

Contoh 1: 
    Tunjukan  himpunan penyelesaian yang memenuhi system pertidaksamaan    
2x + y ≤ 6 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0, untuk x,y   R
     Jawab :
     Langkah – langkah :
     Lukislah grafik 2x + y ≤ 6 dengan cara :
  i.  Tentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dengan table
         Jika x = 0 maka y = 6
         Jika y = 0 maka x = 3
     ii. Buatlah garis  x = 0 , yang merupakan sumbu y , derah yang memenuhi adalah  
         daerah di sebelah kanan sumbu y.
   iii.Buatlah garis  y = 0 , yang merupakan sumbu x , derah yang memenuhi adalah  
         daerah di atas sumbu x.
    iv.Gambar grafik dalam koordinatkartesius sehingga terlihat himpunan 
         penylesaiannya :
     v. Daerah grafik yang diarsir. Uji titik ( 0,0 ) maka 2.0 + 0 ≤
6 maka titik ( 0,0 )
         memenuhi.
                -     -      -                 +      +      +
    Contoh 2 :
a.     Menetukan Model Matematika Dari Soal Cerita ( Kalimat Verbal )
        Model matematika adalah suatu cara penyelesaian masalah dengan cara mengubah bentuk kalimat verbal menjadi suatu model yang selanjutnya diselesaikan dengan pendekatan matematika.
Contoh :
        Seorang pembuat paku membuat jenis paku dari bahan yang tersedia yaitu 5,5 kg A dan 2 kg bahan B. Paku jenis I tiap buah memerlukan 200 gram bahan A dan 75 gram bahan B sedangkan paku jenis II tiap buah memerlukan 150 gram bahan jenis A dan 50 gram bahan jenis B.
Jika pengusaha menjual paku I dengan harga Rp 500,00 dan paku II dengan harga Rp 350,00 maka hitunglah berapa buah paku I dan paku II yang harus dibuat agar penghasilan pengusaha maksimum.

Barang	Bahan A	Bahan B
Paku jenis I	200 gram	75 gram
Paku jenis II	150 gram	50 gram
Jumlah	5.500 gram	2.000 gram

Jawab :
        Mengubah bentuk verbal menjadi model matematika dari soal diatas
Misalkan : Paku jenis I = x dan
                   Paku jenis II = y

        Berdasarkan table sebelumnya didapat persamaan sebagai berikut :
200x + 150y ≤ 5.500
75x + 50y ≤ 2.000
x ≥ 0
y ≥ 0
    Sedangkan fungsi objektifnya adalah z = 500x + 350y
Kita sederhanakan dulu persamaan diatas
200x + 150y ≤ 5.500  4x + 3y ≤ 110
75x + 50y ≤ 2.000       3x + 2y ≤ 80
x ≥ 0
y ≥ 0

     Mencari dearah penyelesaian untuk system pertidaksamaan di atas
   4x + 3y ≤ 110                             
x    0   
y    0
  3x + 2y ≤ 80
x    0   
y    40    0
     Titik potong garis 4x + 3y = 110 dan 3x + 2y = 80 adalah  
4x + 3y = 110   x2  8x + 6y = 220
3x + 2y = 80     x3  9x + 6y = 240      
                                      - x   = -20
                                        x   =  20    
untuk x = 20
3x + 2y = 80  3.20 + 2y = 80
 2y = 80 – 60         y =   = 10 maka titik potong (20,10)
  Gambar grafik fungsi penyelesaiannya
  Daerah  himpunan penyelesaian adalah OABC, sedangkan titik –titik
  optimumnya adalah O(0,0), A(80/3,0), B(20,10), dan C(0,110/3)
  Nilai fungsi obyeknya adalah :
  Untuk O(0,0)         z = 500.0 + 350.0 = 0
  UntukA(80/3,0)    z = 500.80/3 + 350.0 = 13.000
  UntukB(20,10)     z = 500.20 + 350.10 = 13.500
  UntukC(0,110/30 z = 500.0 + 350.110/3 = 12.000
     Jadi agar mendapat penghasilan maksimum yaitu Rp 13.500,00 maka
     pengusaha harus membuat 20 buah paku I dan 10 buah paku
C.    Garis Selidik dengan Persamaan ax + by = k
    Untuk menentukan nilai optimum,selain dengan mencari titik – titik yang koordinat – koordinatnya memenuhi syarat yang diberikan, dapat juga dilakukan dengan menggunakan garis – garis sejajar itu mempunyai persamaan ax + by = k ,dengan k   R dan ax + by merupakan bentuk obyektif. Kerena garis – garis yang sejajar itu di gunakan untuk menyelidiki nilai optimum,maka garis – garis itu disebut garis selidik.Agar himpunan garis – garis sejajar ax + by = k mudah dilukis, maka mulailah dengan melukis garis yang melalui tttik pangkal , yaitu jika k = 0. Kemudian, garis – garis ax + by = k untuk k = 1,2,3,4, ……dilukis dengan penggaris.
Contoh :
Tentukan nilai maksimum dari 3x + 2y yang memenuhi :
x + y ≤ 5 ; x ≥ 0 ;y ≥ 0
Jawab ;   
3x +2y = k2 maka 3.0 + 2.5 = 10           3x +2y = k2 maka 3.5 + 2.0 = 15        
 Jadi nilai maksimum adalah 15

2.      MATRIKS

A. Pengertian Matriks

Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang.

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dapatkan sekumpulan bilangan yangtersusun menurutbaris-baris dan kolom-kolom.

Dalam matematika, himpunan bilangan demikian, yaitu

himpunan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, danditempatkan diantara dua kurung disebut matriks.

Tanda kurung yang dipakai : kurung biasa ( ), kurung siku [ ], atau kurung bergaris dua.Daftar diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut

28   15   43

32   10   42

60   25   85              

Setiap bilangan pada matriks disebut

elemen(unsur) matriks.

Letak suatu unsur matriksditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2.Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . . dan seterusnya,sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.

2. Hubungan Matriks Dengan Matriks.

Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks BContoh :A =

2  1  3

0  3  2

dan B =

3  2  1

5  4  6

Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 X 3

 Definisi:

 Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :a. Matriks A dan B mempunyai ordo samab. Unsur-unsur yang seletak pad matriks A dan matriks B sama.

2. Macam-Macam Matriks

1. Matriks Baris

Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A =

    A=  ( 1 5  3  2)

2. Matriks Kolom

Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolomContoh : A =

2

1

3

3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar

 Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai

 jumlahbaris = jumlah kolom

   Contoh : A =

1        3    5

2    4    0

2    3    7

  jumlah baris = jumlah kolom

4. Matriks Nol 

   Matriks Nol adalah

   Suatu matriks

   nXm

   yang setiap unsurnya 0 berordo

   nXm

   ditulisdengan huruf O.Contoh :

     0 = (3X2)

Penjumlahan

Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama

.Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapatdijumlahkan atau

dikurangkan. Contoh : Jika A =

645123

 A=  3  2  1

        5  4   6

dan

B =   7  5 -3

  -2  1  0

 

Maka A + B =  3+7   2+5   1+3      =   10  7   2

5+2  1+4    6+0            3   5   6

 

A – B =  3-7   2-5  1-(-3)      =    4   3   4

               5-2   4-1  6-0                7   3   6

Beberapa sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks

1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif)

2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif)

3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas tambah)

Contoh 2 :

Contoh : Misal A =    2  -1   0                              2  -1   0           6    3     0

1   3   2      maka 3A = 3   1   3   2      =   3    9     6

693036

Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.Jika a dan b bilangan real, maka :

1)( a + b )A = aA + bA

2)a ( A + B ) = aA + aB

3)a( bA ) = (ab)A

3.FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS

1.Pengertian Fungsi
Definisi : Fungsi dari himpunan A ke himpunan B suatu relasi sedemikian
hingga setiap anggota himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota
himpunan B.f  x y=f(x)
 A=Df = A=Df=D B=Rf=R
Domain = daerah asal (D) Kodomain = daerah kawan (K)  Range = daerah hasil (R)

• Notasi Fungsi
Suatu fungsi atau pemetaanumumnya dinotasikan denganhuruf kecil.
Misal, f adalah fungsi dari A ke Bditulis f: A → B
A disebut domain  B disebut kodomain
• Range atau Daerah Hasil Jika f memetakan x ∈ A ke y ∈ B dikatakan y adalah  peta dari x ditulis f: x → y atau y = f(x).
Himpunan y ∈ B yang merupakan peta dari x ∈ Adisebut range atau daerah hasil
 contoh 1
Misal f: R → R dengan f(x) = √1 - x2
Ten
 Jawab
Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2 maka haruslah 1 – x2 ≥ 0.
1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau (x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1.
Jadi, domain fungsi tersebut adalah -1 ≤ x ≤ 1.
 contoh 2
Tentukan : a. f(x)
 b. f(-3)
 Jawab
 Misal y = x – 1 maka x = y + 1
karena f(x – 1) = x2 + 5x
maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1)
 f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5
 f(y) = y2 + 7y + 6
 f(y) = y2 + 7y + 6
 a. f(x) = x2 + 7x + 6
 b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6
 = 9 – 21 + 6
 = -6 


 2. Komposisi Fungsi
 Pengertian
 Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan
 sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru.
 Misalkan: f : A → B dan g : B → C
 x y=f(x) z=g(y)
 f g
 A B C
 h = g ο f
 Fungsi baru h = (g o f) : A → C disebut fungsi komposisi dari f dan g.
 Ditulis: h(x) = (gof)(x) = g(f(x))
 (gof)(x) = g(f(x)) ada hanya jika Rf
 Nilai fungsi komposisi (gof)(x) untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a))

Contoh 1:
Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut
f = {(0,1), (2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}
Tentukanlah: a) (f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4)
Jawab:
a) (f o g) = {(2,1), (1,4), (5,-1)}b) (g o f) = {(0,2), (4,3)}
c) (f o g)(1) = 4 d) (g o f)(4) = 3
Contoh 2:
f : R → R ; f(x) = 2x² +1, g : R → R ; g(x) = x + 3
Tentukan : a) (f o g)(x) b) (g o f)(x) c) (f o g)(1) d) (g o f)(1)
Jawab :
(f o g)(x) = f(g(x))
 ∩ Dg ≠ Ø
= f(x+3)  = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 
(g o f)(x) = g(f(x))     (f o g)(1) = f(g(1)) 
(g o f)(1) = g(f(1)) 
= 2x²+12x+19
= g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3
= 2x² + 4
= f(4)= 2. (4)² +1  = 2.16 + 1
= 33
= g(3)
= 3 + 3
= 6

4.  PERSAMAAN GARIS LURUS

Garis adalah salah satu objek elementer dalam matematika, khususnya geometri. Karena merupakan objek elementer, garis biasanya tidak didefinisikan. Garis lurus adalah garis yang menghubungkan dua titik dengan jarak yang terdekat. Sebelum memahami garis lurus lebih jauh, maka akan dibahas Koordinat kartesius terlebih dahulu.

Salah satu komponen yang penting dalam garis lurus adalah kemiringan garis atau  biasa disebut gradien. Gradien merupakan perbandingan antara jarak vertikal dengan  jarak horizontal dari dua buah titik yang dilalui garis lurus. Menghitung gradien akan lebih mudah dilakukan jika garis diletakkan pada koordinat cartesius.

Rumus gradien

Contoh soal 1 :

Tentukanlah gradient dari persamaan berikut : a.

y = 2x  b.

x = 2y c.

2x + 3y = 0

Jawab :

a.

Persamaan garis y = 2x sudah memenuhi bentuk y = mx. Jadi diperoleh m = 2  b.

Persamaan garis x = 2y diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx sehingga Persamaan garis y = ½ x sudah memenuhi bentuk y = mx jadi diperoleh m = ½ x c. 

Persamaan 2x + 3y = 0 diubah terlebih dahulu menjadi bentuk y = mx sehingga Persamaan garis y = -

⅔ x sudah memenuhi bentuk y =mx jadi diperoleh m= -⅔ x

b)  Menghitung garis pada persamaan garis y = mx + c

Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx. Perhitungan pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta didepan variabel x.

Contoh soal 2 :

Tentukanlah gradien dari persamaan berikut : a.

2y = x + 12  b.

2 + 4y = 3x + 5

Jawab :

a.Parsamaan garis 2y = x + 12 terlebih dahulu di ubah menjadi bentuk y = mx + c sehingga

 b.Persamaan 2 + 4y = 3x + 5 terlebih dahulu diubah menjadi bentuk y = mx + c sehingga

5. BARISAN DAN DERET

Deret Geometri Tak Hingga
Misalkan selembar kertas berbentuk segiempat dibagi menjadi 2 dan salah satu bagiannya dibagi lagi menjadi 2 bagian. Bagian ini dibagi lagi menjadi 2 dan begitu seterusnya seperti gambar berikut ini:

Secara teoritis pembagian ini dapat dilakukan berulang kali sampai tak hingga kali. Pada pembagian pertama diperoleh setengah bagian, yang kedua seperempat bagian, yang ketiga seperdelapan bagian dan seterusnya sampai tak hingga kali. Tampak jelas bahwa jumlah dari seluruh hasil pembagian sampai tak hingga kali tetap = kertas semula (1 bagian). Hasil ini dapat dituliskan:

Deret geometri tak hingga merupakan deret geometri yang banyak sukunya (n) tak hingga. Kita telah mengetahui bahwa untuk menentukan jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri digunakan rumus:

Oleh karena yang dipelajari adalah deret geometri tak hingga maka akan ditinjau setiap nilai dari r untuk n → ∞ sebagai berikut:

1.      Untuk r > 1 atau r 1 atau r 1 dan n → ∞ maka rn→ ∞
Untuk r < -1 dan n → ∞ maka rn→ -∞.
Sehingga diperoleh

2.      Deret geometri tak hingga dengan r > 1 atau r < -1 disebut deret divergen (menyebar) karena deret ini tidak memiliki kecendrungan pada suatu nilai tertentu. Oleh karena itu deret ini tidah memilik limit jumlah

2. Untuk -1 n akan semakin kecil dan mendekati nol. Dalam hal ini untuk n → ∞ maka rn→ 0. Sehingga diperoleh

Contoh soalbaris dan deret geometri

1. Carilahsukuke 8 daribarisan di bawahini

   a) 2,4,8,16,32,...    b) 2,1,1/2,1/4,1/8,...

2. Diketahui barisan geometri dengan U3 = 27 dan U5 = 243. Berapakah 6 sukupertama

derettersebut?

Solusi :

1. a) U1 = 4                U8 = U1 . r8-1 = 2 . 27  =  2 . 128 = 256

        U2 = 2

         r = U2 : U1

           = 4 : 2

            = 2

    b) U2 = 1                  U8 = U1 .r8-1 = 2 . (1/2)7 =  2 x 1/128 = 1/64

        U1 = 2

         r = U2 : U1

           = 1 : 2

           = 1/2

2. U3 = a .r3-1   = a . r2 = 27                          27 = U1 . (3)3-1

    U5 = a .r5-1   = a . r4 = 243                        27 = U1 . 32

                                                                       27 = U1 . 9

   U5/U3 = a . r4 / a . r2 = 243/27              

    r2 = 9                                                            U1 = 27 : 9 = 3

    r = 3

    S15 = 3 ( 36 - 1) / 3-1 = 3 (729-1) / 2 = 3 (728) /2 = 1092

Contohsoalbarisandanderetaritmatika

Dari suatubarisanaritmetika, sukuketigaadalah 36, jumlahsukukelimadanketujuhadalah 144.Jumlahsepuluhsukupertamaderettersebutadalah …

A. 840

B. 660

C. 640

D. 630

E. 315

PEMBAHASAN :

un = a + (n – 1)b

u3 = a + 2b = 36 … (i)

u5 + u7 = 144

(a + 4b) + (a + 6b) = 144

2a + 10b = 144 (kalikan ½)

a + 5b = 72 … (ii)

dari (i) dan (ii) diperoleh :

a + 5b = 72

(36 – 2b) + 5b = 72

3b = 36 => b = 12

Kemudiansubstitusinilai b kesalahsatupersamaan (misalpersamaan (i)), sehinggadiperoleh :

a = 36 – 2b = 36 – 2(12) = 12

Setelahnilai a dan b kitadapatkan, kemudiankitamencarinilaidariS10 :

Sn=  (2a + ( n – 1 )b)

S10 =  (2(12) + ( 10 – 1 )12)

   = 5 (24 + (9)12)

   = 5 (24 + 108)

   = 5 (132) = 66

  

6. TRIGONOMETRI

    Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut a adalah sudut (90° ± a), (180° ± a), (360° ± a), dan -a°. Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus, misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut a° dengan (90° - a) dan pelurus (suplemen) untuk sudut a° dengan (180° - a). Contoh: penyiku sudut  50° adalah 40°, pelurus sudut 110° adalah 70°.

1.            Perbandingan trigonometri untuk sudut a dengan (90° - a)

                                                                    Dari gambar 2.7 diketahui

                                                                    Titik P₁(x₁,y₁) bayangan dari P(x,y)

                                                                   akibat pencerminan garis y = x, sehingga

                                                                    diperoleh:

                                                                    a.  ÐXOP = a dan ÐXOP₁ = 90° - a

                                                                   b.  x₁ = x, y₁ = y dan r₁ = r

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

a.                                    

b.                                    

c.                                    

a.                   d.  b.                   e.  c.                   f.

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut a dengan (90° - a) dapat dituliskan sebagai berikut:

2.            Perbandingan trigonometri untuk sudut a° dengan (180° - a)

Titik P₁(x₁,y₁) adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap sumbu y, sehingga

a. ÐXOP = a dan ÐXOP₁ = 180° - a

b.  x₁ = -x, y₁ = y dan r₁ = r

            maka diperoleh hubungan:

a.                                

b.                               

c.                                    

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

	a.                   d.  b.              e.  c.                f.

 

3.            Perbandingan trigonometri untuk sudut a° dengan (180° + a)

Dari gambar 2.9 titik P₁(x₁,y₁) adalah bayangan dari titik P(x,y) akibat pencerminan terhadap garis y = -x, sehingga

a. ÐXOP = a dan ÐXOP₁ = 180° + a

b.  x₁ = -x, y₁ = -y dan r₁ = r

            maka diperoleh hubungan:

a.                                

b.                               

c.                                

a.          d.  b.        e.  c.             f.

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

4.            Perbandingan trigonometri untuk sudut a dengan (- a)

Dari gambar 2.10 diketahui    titik P₁(x₁,y₁) bayangan dari P(x,y)

            akibat pencerminan terhadap sumbu x, sehingga

a.  ÐXOP = a dan ÐXOP₁ = - a

b.  x₁ = x, y₁ = -y dan r₁ = r

            maka diperoleh hubungan

a.                                

b.                               

c.                                

a.                         d.  b.                         e.  c.                        f.

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

Untuk relasi a  dengan (- a) tersebut identik dengan relasi a dengan 360° - a, misalnya sin (360° - a) = - sin a.

1.  Rumus – rumus yang perlu dipahami:

a.         Rumus Dasar yang merupakan Kebalikan

b.        Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandingan

c.         Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras

Contoh 1

1.      Buktikan identitas berikut:

a.       Sin α . Cos α . Tan α =  (1 – Cos α)  (1 + Cos α)

Jawab:

Ruas kiri          = Sin α . Cos α . Tan α

                         = Sin α . Cos α .

                         = Sin² α

                         = 1 – Cos² α

                         =  (1 – Cos α)  (1 + Cos α)  = Ruas Kanan Terbukti!

b.      Sin β . Tan β + Cos β = Sec β

Jawab:

Ruas Kiri         = Sin β . Tan β + Cos β

                         = Sin β .  + Cos β

                         =

                         = Sec β = Ruas Kanan Terbukti

2.      Persamaan Trigonometri

a.       Persamaan Trigonometri Sederhana

Contoh 2

1.                  Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan Sin x = , 0^o ≤ x ≤ 360^o

Jawab:

Sin x    =

Sin x    = Sin 30^o

     x     = 30^o + k . 360^o

untuk k= 1       ↔ x     = 30^o

untuk k = 2      ↔ x     =  (180^o – 30^o)  + k . 360^o

                                     = 150^o

HP:{30^o, 150^o}

b.             Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x = c

  

Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai berikut:

                          

Contoh 3

1.    Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:

Cos y – Sin y = 1, jika 0o ≤ y ≤ 360o

Jawab:

Cos y – Sin y = 1        ↔        a = 1;   b =  - 1 ;    c = 1

Sehingga diperoleh k =

                        Tan α =  =  - 1 ↔ α dikuadran IV

                        α = 315^o

jadi Cos y – Sin y = 1

            ↔  Cos (x – 315^o)  = 1

            ↔        Cos (x – 315^o)  =

            ↔        Cos (x – 315^o)  = Cos 45^o

            ↔        (x – 315^o)         = 45o + k . 360^o

            ↔                                x = 360^o + k . 360^o

            ↔                                x = 360^o

            Atau    (x – 315^o)          =  - 45^o + 360^o

                                                x = 270^o + k . 360^o

                                                x = 270^o

HP:{270^o, 360^o}

Dengan memanjatkan puji dan syukur kehadirat Allah SWT, atas nikmat dan karunia-Nya semata,  akhirnya penulis dapat menyelesaikan makalah yang berjudul “MAKALAH REMEDIAL.”

Dalam penyusunan makalah ini, penulis banyak menemui kesulitan-kesulitan dan hambatan-hambatan baik pada saat mencari sumber maupun pada saat penulisannya, namun berkat bimbingan dan dorongan dari semua pihak akhirnya makalah ini dapat terwujud.

Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dan kejanggalan hal itu disebabkan sangat terbatasnya kemampuan dan ilmu yang penulis miliki. Oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak yang bersifat membangun selalu kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini.

Saya ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah berperan serta dalam penyusunan makalah ini dari awal sampai akhir. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin.

                                                                                                Cirebon, Desember 2014

                                                                                                             Penulis